Question

4．已知抛物线M：y²=4x，圆N：（x-1）²+y²=r²（其中r为常数，且r＞0），过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，若使|AC|=|BD|成立的直线有3条，则r的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （2，+∞）
• D． （$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 讨论直线l与x轴垂直的情况，设直线方程为x=my+1（m≠0），分别与抛物线方程和圆的方程联立方程组，根据|AC|=|BD|列方程，得出r关于m的表达式，从而得出r的范围．

解答 解：①当l⊥x轴时，由对称性可知|AC|=|BD|，符合题意；
②当l不与x轴垂直时，设直线l：x=my+1，
把x=my+1代入抛物线方程y²=4x得：y²-4my-4=0，△=16（m²+1）＞0，
把x=my+1代入圆的方程（x-1）²+y²=r²得：y²=$\frac{{r}^{2}}{{m}^{2}+1}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵|AC|=|BD|，
∴y₁-y₃=y₂-y₄，即y₁-y₂=y₃-y₄，
∴4$\sqrt{{m}^{2}+1}$=$\frac{2r}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴r=2（m²+1）＞2，
故选C．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查等价转化思想与分类讨论思想，求得r=2（m²+1）是关键，考查综合运算能力，属于中档题．