Question

已知二次函数f（x）满足f（0）=2，且f(x+1)-f(x)=-x-

1

2

．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）等腰梯形ABCD与函数y=f（x），x∈[-2，2]的图象相切，底边CD在x轴上（如图），试求等腰梯形ABCD面积的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,二次函数的性质

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，利用f（0）=2，且f(x+1)-f(x)=-x-

1

2

，建立方程，求出a，b，c，即可得出函数f（x）的表达式；
（2）求出直线BC的方程，可得B，C的横坐标，进而得到梯形的上底、下底及高，代入梯形面积公式，利用基本不等式求出最值即可得到答案．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=2，且f(x+1)-f(x)=-x-

1

2

，
∴c=2，a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，
∴2a=-1，a+b=-

1

2

，
∴a=-

1

2

，b=0，
∴f（x）=-

1

2

x2+2；
（2）设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为（t，-

1

2

t2+2）（0＜t≤2）．
∵f（x）=-

1

2

x2+2，
∴f′（x）=-x，
∴直线BC的斜率为-t，
∴直线BC的方程为y-（-

1

2

t2+2）=-t（x-t），
即：y=-tx+

1

2

t2+2），
令y=0得，C的横坐标为

1

2

t+

2

t

．
令y=2得，B的横坐标为

1

2

t，
∴S=2t+

4

t

≥2

8

=4

2

，
当且仅当2t=

4

t

，即t=

2

时取得最小值．
∴梯形ABCD的面积最小值为4

2

．

点评：本题考查二次函数的图象与性质，其中根据函数的解析式，求出导函数，进而求出过切点P的切线方程，是解答本题关键．