Question

某旅游景点经营者欲增加欲增加景点服务设施以提高旅游增加量，经过调研发现，在控制投入成本的前提下，旅游增加值y（万元）与投入成本x（万元）之间满足：y=-ax²+

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x-lnx+ln10（10≤x≤100），其中实数a为常数，且当投入成本为10万元时，旅游增加值为9.2万元．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）当投入成本为多少万元时，旅游增加值y取得最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,导数的综合应用

分析：（1）代入x=10万元时y=9.2万元，可得9.2═-a10²+

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50

10-ln10+ln10，从而求a；
（2）求导f′（x）=

x2-51x+50

50x

，判断函数的单调性从而求其最大值．

解答： 解：（1）由于当x=10万元时y=9.2万元，
因此，9.2═-a10²+

51

50

10-ln10+ln10，
解得a=

1

100

；
（2）从而f（x）=-

x2

100

+

51

50

x-lnx+ln10（10≤x≤100），
f′（x）=

x2-51x+50

50x

，
令f′（x）=0，可得 x=1，或 x=50．
当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，且f（x）在（1，50）上连续，因此f（x）在（1，50]上是增函数；
当x∈（50，+∞））时，f′（x）＜0，且f（x）在（50，+∞）上连续，因此f（x）在（50，+∞）上是减函数．
则x=50时，函数f（x）取得极大值，
即投入50万元改造时旅游取得最大增加值．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了导数在求最值时的应用，属于中档题．