Question

已知函数f（x）=

-x2+2x-2，x≤1 - 1 x ，1＜x≤2 ax+a-1，x＞2

（1）若a=1，求方程|f（x）|=5的解．
（2）若f（x）在（-∞，+∞）是单调递增的，求实数a的范围？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x≤1时，f（x）=-x²+2x-2，图象是抛物线的一部分；当1＜x≤2时，f（x）=-

1

x

，图象是反比例函数图象的一部分；若a=1，x＞2时，函数f（x）=x+1-1=x，图象是y=x的图象的一部分，可画出分段函数的图象，结合图象解方程．
（2）从图象上看函数f（x）在x≤2时单调递增，只需使当x＞2的函数f（x）=ax+a-1再单调递增即可，由于函数f（x）=ax+a-1的图象恒过点（-1，-1），结合图象约束a的取值即可．

解答： 解：（1）当x≤1时，f（x）=-x²+2x-2，图象是抛物线的一部分；当1＜x≤2时，f（x）=-

1

x

，图象是反比例函数图象的一部分；当a=1时，x＞2时，函数f（x）=x+1-1=x，图象是y=x的图象的一部分，画出函数的图象如图所示，其中，M（-1，-1）、A（2，-

1

2

）

∵方程|f（x）|=5?f（x）=5或f（x）=-5
∴由图象可知，要使f（x）=5，则f（x）=x；要使f（x）=-5，则f（x）=-x²+2x-2；
原方程可化为x=5或-x²+2x-2=-5，
解得x=5或x=-1．
（2）当x＞2时，f（x）=ax+a-1，由于f（-1）=-a+a-1=-1，
∴函数f（x）=ax+a-1的图象恒过点（-1，-1），且a为直线y=ax+a-1的斜率，
因此要使f（x）在（-∞，+∞）是单调递增的，斜率a≥k_MA，其中k_MA是直线MA的斜率，
∵k_MA=

- 1 2 -(-1)

2-(-1)

=

1

6

，∴a≥

1

6

点评：本题主要考查分段函数的内容，画出函数的图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键．