Question

在极坐标系中，已知某曲线C的极坐标方程为ρ²=

4

4sin2θ+cos2θ

，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+6=0
（Ⅰ）求该曲线C的直角坐标系方程及离心率e；
（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入曲线C的极坐标方程为ρ2=

4

4sin2θ+cos2θ

即可得出曲线C的直角坐标系方程及离心率e；
（II）由

x=ρcosθ y=ρsinθ

知直线l的直角坐标系方程为x+2y+6=0．
法一：利用曲线C的参数方程为

x=2cosϕ y=sinϕ

，(ϕ为参数），可设点P的坐标为（2cosϕ，sinϕ）．
则点P到直线l的距离为d=

|2cosϕ+2sinϕ+6|

1+22

=

|2 2 sin(ϕ+ π 4 )+6|

5

．即可得出．
法二：设与直线l平行且与曲线C相切的直线为x+2y+λ=0．联立

x+2y+λ=0 x2 4 +y2=1

消去y整理得2x²+2λx+λ²-4=0．
利用△=0，求得切点，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由

x=ρcosθ y=ρsinθ

知曲线C的极坐标方程为ρ2=

4

4sin2θ+cos2θ

可化为直角坐标系方程x²+4y²=4，
即

x2

4

+y2=1．
由于在椭圆方程中a=2，b=1，
∴c=

3

．
故离心率e=

c

a

=

3

2

．
（2）∵直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+6=0，
∴直线l的直角坐标系方程为x+2y+6=0．
法一：∵曲线C的参数方程为

x=2cosϕ y=sinϕ

，(ϕ为参数），
∴可设点P的坐标为（2cosϕ，sinϕ）．
则点P到直线l的距离为d=

|2cosϕ+2sinϕ+6|

1+22

=

|2 2 sin(ϕ+ π 4 )+6|

5

．
∴当sin(ϕ+

π

4

)=1．
即P(

2

，

2

2

)时，dmax=

2 2 +6

5

=

2 10 +6 5

5

．
法二：设与直线l平行且与曲线C相切的直线为x+2y+λ=0．
联立

x+2y+λ=0 x2 4 +y2=1

消去y整理得2x²+2λx+λ²-4=0．
则△=4λ²-8（λ²-4）=-λ²+8，令△=0得λ=±2

2

．
当λ=2

2

时，切点P(

2

，

2

2

)到直线l的距离最大为

2 10 +6 5

5

．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆及圆的位置关系、点到直线的距离公式、两角和差正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．