Question

在直角坐标系xOy中，已知点P（

1

2

，1），直线l的参数方程为

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

（t为参数）若以O为极点，以Ox为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=

2

cos（θ-

π

4

）
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由直线l的参数方程

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

，由y=1+

1

2

t可得t=2（y-1）代入x=

1

2

+

3

2

t消去参数t即可得出；由曲线C的极坐标方程ρ=

2

cos（θ-

π

4

）展开为ρ=

2

(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)，化为ρ²=ρcosθ+ρsinθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出曲线C的直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入圆的方程可得t2+

1

2

t-

1

4

=0，由于点P（

1

2

，1）在直线l上，可得|PA||PB|=|t₁t₂|．

解答： 解：（I）由直线l的参数方程

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

，消去参数t，可得x-

3

y-

1

2

+

3

=0；
由曲线C的极坐标方程ρ=

2

cos（θ-

π

4

）展开为ρ=

2

(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)，
化为ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=x+y，即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．
（II）把直线l的参数方程

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入圆的方程可得t2+

1

2

t-

1

4

=0，
∵点P（

1

2

，1）在直线l上，∴|PA||PB|=|t₁t₂|=

1

4

．

点评：本题考查了把参数方程极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．