Question

在三棱锥A-BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=a，∠ABC=30°，求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：AC⊥底面BCD，利用线面垂直的性质可得AC⊥BC．根据AC=a，∠ABC=30°，可得BC=

AC

tan30°

=

3

a．根据BD⊥DC，BD=DC，可得BD=CD=

3 a

2

，BD⊥AD.AD=

AC2+CD2

．设点C到平面ABD的距离为h．利用V_A-BCD=V_C-ABD，即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵AC⊥底面BCD，∴AC⊥BC．
∵AC=a，∠ABC=30°，
∴BC=

AC

tan30°

=

3

a．
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴BD=CD=

3 a

2

，BD⊥AD．
又AD=

AC2+CD2

=

a2+( 3 a 2 )2

=

10

2

a．
设点C到平面ABD的距离为h．
∵V_A-BCD=V_C-ABD，
∴

1

3

•S△BCD•AC=

1

3

•S△ABD•h．
∴

1

2

×(

3 a

2

)2•a=

1

2

•

3 a

2

•10a2•h，
∴h=

15

5

a．

点评：本题综合考查了线面垂直的性质定理、勾股定理、直角三角形的边角关系、三垂线定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．