Question

20．在数列{a_n}中，若a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，则$\sum_{k=1}^{2014}$a_k=$\frac{2015}{2}$．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值找出周期，进而计算可得结论．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=1-2=-1，
a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=1+1=2，
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
且a₁+a₂+a₃=2+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
又∵2014=3×671+1，
∴$\sum_{k=1}^{2014}$a_k=$\frac{3}{2}$×671+2=$\frac{2015}{2}$，
故答案为：$\frac{2015}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．