题目内容
8．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．（1）若$\overrightarrow{c}$=（-2，k），且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．
分析 （1）由向量平行的性质，能求出k．
（2）由向量垂直得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，由此能求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．
解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，
$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{c}$=（-2，k），且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，
∴$\frac{-2}{1}=\frac{k}{2}$，解得k=-4，
∴$\overrightarrow{c}$的坐标为（-2，-4）．
（2）∵|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴2×5-3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2×$\frac{5}{4}$=0，
整理，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{5}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=-1，
∵θ∈[0，π]，∴θ=π．
点评 本题考查向量的坐标及两向量夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用．
如图，G是△ABC的重心，过G的直线与边AB，AC分别相交于点E，F，若AE=mAB，AF=nAC（mn≠0），求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的值．| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{8}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |