Question

5．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax，a∈R，若f（x）在区间（-∞，-$\frac{3}{2}$）单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先将问题等价为：f'（x）≥0在x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$）上恒成立，再通过分离参数发求a的取值范围．

解答 解：根据题意，问题等价为：
f'（x）≥0在x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$）上恒成立，
即x²+2x+a≥0恒成立，
分离参数a得，a≥-x²-2x=-（x+1）²+1，
所以，a≥[-（x+1）²+1]_max=$\frac{3}{4}$，
仅当x=-$\frac{3}{2}$时，上式取得最大值，
所以，实数a的取值范围为：[$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查了运用导数研究函数的单调性和确定函数的单调区间，涉及不等式恒成立问题的解法，属于基础题．