Question

9．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0）有相同焦点，它们的公共点在x轴上的射影为其中一个焦点，若它们的离心率分别为e₁，e₂，则e₁•e₂=1．

Answer 1

分析 设F（c，0），把F分别代入椭圆与双曲线方程可得：化为b²（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$）=n²（$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$-1），又c²=m²+n²=a²-b²，可得：$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{n}^{2}}{m}$，设a=km，则b=$\sqrt{k}$n，k=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$+1=$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$，即可得出结论．

解答 解：设F（c，0），把F分别代入椭圆与双曲线方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1
化为b²（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$）=n²（$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$-1），
又c²=m²+n²=a²-b²，
可得：$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{n}^{2}}{m}$，
设a=km，则b=$\sqrt{k}$n，∴k=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$+1=$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$
∴e₁•e₂=$\frac{c}{a}•\frac{c}{m}$=$\frac{{c}^{2}}{k{m}^{2}}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．