Question

已知函数f（x）的定义域中R，等式f（1-x）=f（1+x）与f（x-1）=f（x-3）对任意的实数x都成立，当x∈[1，2]时，f（x）=x²，那么f（x）的单调减区间是（注：以下各选项中k∈z）（　　）

• A、[2k，2k+1]
• B、[2k-1，2k]
• C、[2k，2k+2]
• D、[2k-2，2k]

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件先判断出函数f（x）的对称轴，再判断出函数为周期函数，根据函数的单调性即可求出答案．

解答： 解：∵f（1-x）=f（1+x），
∴函数f（x）的对称轴为x=1，
∵f（x-1）=f（x-3），
令x=x+3，
得f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）为以2周期的周期函数，
∵x∈[1，2]时，f（x）=x²，
∴函数f（x）在区间[1，2]上单调递增．
∴函数f（x）在区间[0，1]上单调递减．
∴f（x）的单调减区间是[2k，2k+1]（k∈Z）．
故选：A

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，对称性，单调性，周期性，关键求出是函数为周期函数，属于中档题．