Question

已知下列四个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的

1

2

，则其体积缩小到原来的

1

8

；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x-y+1=0与圆x²+y²=

1

2

相切；
④设a∈R，若函数y=e^x+ax有大于零的极值点，则a＜-1．
其中真命题的个数的序号是：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，利用球的体积公式计算一下即可；
对于②，举个反例容易说明该命题为假；
对于③，计算圆心到直线的距离，然后看是否等于半径即可；
对于④，求出该函数的极值点，让其大于0，解出a的范围．

解答： 解：对于①，令r=a，则V=

4

3

πa³，当r=

1

2

a时，V=

4

3

π×

1

8

a3，故体积是原来的

1

8

，故①正确；
对于②，一组数据为1，0，-1；另一组为2，0，-2，显然第一组与第二组平均数相等，但方差；第一组为

2

3

，第二组为

8

3

，显然不等，故②错误；
对于③，圆心为（0，0），r=

2

2

，所以圆心到直线的距离d=

1

2

=r，所以直线与圆相切，故③正确；
对于④，令y′=e^x+a=0，解得x₀=ln（-a），令x₀＞0得a＜-1，故④错误．
故答案为：①③．

点评：命题的真假判断一般以考查概念、公式、基本方法的较多，要在准确理解题意的基础上解题．