Question

过点P（3，3）的圆C与直线x-y+2=0切于点（1，3）．
（1）求圆C的方程；
（2）点Q是圆C上任意一点，直线x+2y+2=0与两坐标轴的交点分别为A、B，求

QA

•

QB

的取值范围；
（3）过点P作两条直线与圆C分别交于E、F两点，若直线PE与直线PF的倾斜角互补，试问：直线EF的斜率是否为定值？若是，求出直线EF的斜率；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设出圆心坐标，利用过点P（3，3）的圆C与直线x-y+2=0切于点（1，3），建立方程组，求出圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）设出Q的坐标，求出A，B的坐标，利用向量的数量积公式，表示出

QA

•

QB

，利用辅助角公式化简，即可确定

QA

•

QB

的取值范围；
（3）设直线PE的方程为：y=k（x-3）+3与圆C的方程联立，求得E的坐标，同理得到F的坐标，利用斜率公式，即可得出结论．

解答： 解：（1）设圆心坐标为（a，b），则

b-3 a-1 •1=-1 (a-3)2+(b-3)2=(a-1)2+(b-3)2

，
∴a=b=2，圆的半径为

2

，
∴圆C的方程为：（x-2）²+（y-2）²=2；
（2）直线x+2y+2=0中，令x=0，可得y=-1，令y=0，可得x=-2，∴A（-2，0），B（0，-1），
设Q（x，y），则

x=2+ 2 cosθ y=2+ 2 sinθ

，
∴

QA

•

QB

=（x+2，y）•（x，y+1）=x（x+2）+y（y+1）=16+5

2

sinθ+6

2

cosθ
=16+

122

sin（θ+α）∈[16-

122

，16+

122

]；
∴

QA

•

QB

的取值范围是[16-

122

，16+

122

]；
（3）设直线PE的方程为：y=k（x-3）+3与圆C的方程联立得：
（1+k²）x²-（6k²-2k+4）x+9k²-6k+3=0，
解得：x=3或x=

3k2-2k+1

k2+1

，
∴点E的坐标为（

3k2-2k+1

k2+1

，

k2-2k+3

k2+1

）．
同理点F的坐标为（

3k2+2k+1

k2+1

，

k2+2k+3

k2+1

）．
则k_EF=

k2+2k+3 k2+1 - k2-2k+3 k2+1

3k2+2k+1 k2+1 - 3k2-2k+1 k2+1

1为定值．

点评：本题考查圆的方程，考查圆的参数方程的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．