Question

19．如图，正八面体P-ABCD-Q由两个棱长都为a的正四棱锥拼接而成．
（Ⅰ）求PQ的长；
（Ⅱ）证明：四边形PAQC是正方形；
（Ⅲ）求三棱锥A-PBC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结PQ，交平面ABCD于O，取BC的中点E，连结PE、OE，利用勾股定理能求出PQ的长．
（Ⅱ）连结AC，推导出PA=AQ=QC=CP，且四边形PAQC是矩形，由此能证明四边形PAQC是正方形．
（Ⅲ）三棱锥A-PBC的体积V_A-PBC=V_P-ABC，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）连结PQ，交平面ABCD于O，
则O是正方形ABCD的中心，
取BC的中点E，连结PE、OE，
在直角△POE中，∵OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}a$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴PO=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴PQ=2PO=$\sqrt{2}a$．
证明：（Ⅱ）连结AC，∵PA=AQ=QC=CP，
∴四边形PAQC是菱形，
∵AC=$\sqrt{2}$a=PQ，
∴四边形PAQC是矩形，
∴四边形PAQC是正方形．
解：（Ⅲ）三棱锥A-PBC的体积：
V_A-PBC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×PO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查四边形是正方形的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．