Question

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值.设.
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点.

Answer 1

（1）或；（2）详见解析.

试题分析：（1）先设点的坐标，利用两点间的距离公式将表示为为自变量的函数，利用基本不等式求出相应的最小值，然后列方程求出的值；（2）令，将函数的零点转化为求方程的根，对首项系数的符号进行分类讨论，以及在首项系数不为零时对的符号进行分类讨论，从而确定函数在定义域上是否存在零点，并且在零点存在的前提下利用求根公式求出相应的零点值.
试题解析：（1）依题可设 ()，则；
又的图像与直线平行        
， ，
设，则

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时，  解得 
当时，  解得
（2）由()，得  
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，
函数有两个零点，即；
若，，
函数有两个零点，即；
当时，方程有一解,  ,
函数有一零点
综上，当时, 函数有一零点；
当()，或（）时，
函数有两个零点；
当时，函数有一零点.