题目内容

若正数a，b满足a+2b=3，且使不等式
1
2a
+
1
b
-m＞0恒成立，则实数m的取值范围是
 
．
考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：分离参数m，然后利用基本不等式求出
1
2a
+
1
b
的最小值得答案．
解答： 解：不等式
1
2a
+
1
b
-m＞0恒成立，即
m＜
1
2a
+
1
b
恒成立，
∵a+2b=3，
∴
a
3
+
2b
3
=1，
则
1
2a
+
1
b
=(
1
2a
+
1
b
)(
a
3
+
2b
3
)=
1
6
+
2
3
+
b
3a
+
a
3b
≥
5
6
+2
b
3a
•
a
3b
=
3
2
．
当且仅当
a+2b=3
a=b
，即a=b=1时上式等号成立．
∴实数m的取值范围是m＜
3
2
．
故答案为：m＜
3
2
．
点评：本题考查了恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
根据下列条件，写出直线方程，并化成一般式．
（1）经过点A（8，-2），斜率是-
1
2
；
（2）在x轴，y轴上的截距分别是
3
2
，-3．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a-b=4，a+c=2b，又知△ABC的最大角为120°，则边a=
 
．
设P是∠A终边上的一点．
（1）若点P的坐标为（
3
3
，
6
3
），求sinA的值；
（2）若点P的坐标为（x，
3
），且
cosA-1
3
=-
1
6
，求x的值．
已知数列{an}满足a1=4，an+1an+6an+1-4an-8=0，记bn=
6
an-2
．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Sn．
已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d（d≠1），且a1=b1，a4=b4，a10=b10．
（1）求实数a1和d的值；
（2）若b16=ak+1，求k的值．
已知双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|•|PF2|=32，则∠F1PF2=
 
．
在△ABC中，a，b，c分别是较A、B、C对边的长，且满足
cosB
cosC
=-
b
2a+c
．
（1）求角B的值；
（2）若b=
19
，a+c=5．求△ABC的面积．
cos20°cos10°-sin10°sin20°的值为（　　）
A、
1
2
B、-
1
2
C、
3
2
D、-
3
2

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