Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1a_n+6a_n+1-4a_n-8=0，记b_n=

6

an-2

．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可证得数列∴{b_n+1}是首项是b₁+1=

6

4-2

+1=4，公比为4的等比数列，即可得出结论；
（2）分组后利用等比数列求和即可．

解答： 解：（1）∵b_n=

6

an-2

，
∴a_n=

6

bn

+2，
又∵a_n+1a_n+6a_n+1-4a_n-8=0，
∴（

6

bn+1

+2）（

6

bn

+2）+6（

6

bn+1

+2）-4（

6

bn

+2）-8=0，
整理得b_n+1=4b_n+3
b_n+1+1=4（b_n+1）
∴{b_n+1}是首项是b₁+1=

6

4-2

+1=4，公比为4的等比数列，
∴b_n+1=4×4^n-1=4ⁿ，
∴b_n=4ⁿ-1．
（2）a_nb_n=（

6

bn

+2）b_n=2b_n+6=2×4ⁿ+4=2²ⁿ⁺¹+4，
∴s_n=（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹）+4n=

23(1-4n)

1-4

+4n=

22n+3+12n-8

3

．

点评：本题主要考查等比数列的定义及等比数列的求和公式等知识，考查学生的运算求解能力，属于中档题．