Question

已知f（x）=|x|-|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤0的解集A；
（2）若不等式mx+m-1＞0对任何x∈A恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）不等式f（x）≤0，即|x|≤|x+1|，平方求得不等式的解集．
（2）由题意可得当x≥-

1

2

时，m＞

1

x+1

恒成立．利用单调性求得函数y=

1

x+1

在[-

1

2

，+∞）上的最大值为2，从而其肚饿m的范围．

解答： 解：（1）不等式f（x）≤0，即|x|-|x+1|≤0，即|x|≤|x+1|，
平方求得 x≥-

1

2

，故不等式的解集为[-

1

2

，+∞）．
（2）由题意可得当x≥-

1

2

时，mx+m-1＞0恒成立，即 m＞

1

x+1

 恒成立．
由于函数y=

1

x+1

在[-

1

2

，+∞）上是减函数，故y的最大值为

1

- 1 2 +1

=2，
故有m≥2，即m的范围为[2，+∞）．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题．利用单调性求函数的最值，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．