Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-3，5]．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的范围，使f（x）在区间[-3，5]上是单调函数．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=-1时，函数f（x））=（x-1）²+1，x∈[-3，5]，再利用二次函数的性质求得函数f（x）的最大值和最小值．
（2）根据函数f（x）的图象的对称轴是直线x=-a，利用二次函数的性质求得a的范围．

解答： 解：（1）当a=-1时，函数f（x））=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-3，5]．
∴f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（-3）=f（5）=17．
（2）函数f（x）的图象的对称轴是直线x=-a，当-a≥5时，即a≤-5时，函数f（x）在[-3，5]上单调递减；
当-a≤-3时，即a≥3时，函数f（x）在[-3，5]上单调递增，
故要求的a的范围为[3，+∞）∪（-∞，-5]．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性的判断，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．