Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．
（1）若a₁=b₁，a₂=b₂，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若a₁，a₃，a_n1，a_n2，…，a_nk，…（3＜n₁＜n₂，＜…＜n_k＜…，k∈N^*）成等比数列，求数列{n_k}的通项公式；
（3）若a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，且a₃+4=b₃，求a，b的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：本题（1）利用等差数列和等比数列的通项公式，求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式，得到本题结论；
（2）利用题目中条件得到参数a、b的不等关系，再根据a，b均为正整数，得到a、b的值，从而求出数列{n_k}的通项公式；（3）利用中条件得到参数a、b的不等关系，再根据a，b均为正整数，求出a、b的值，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵a₁=b₁，a₂=b₂，
∴

a=b a+b=ab

，
∴a=b=0或a=b=2，
∵a，b∈N^*，
∴a=b=2，
故an=2n，bn=2n．
（2）由（1）得：a₁=2，a₃=6，
∴a1，a3，an1，an2，…，ank，…构成以2为首项，3为公比的等比数列，
∴ank=2•3k+1．
又ank=2nk，
故有2nk=2•3k+1，
∴数列{n_k}的通项公式为nk=3k+1(k∈N*)．
（3）由a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，
得a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，
由a+b＜ab得：a（b-1）＞b；
 由ab＜a+2b得：a（b-1）＜2b．
而a，b∈N^*，a＜b，即b＞a≥1，
从而得：1＜

b

b-1

＜a＜

2b

b-1

=2+

2

b-1

≤4，
∴a=2或3，
当a=3时，由a₃+4=b₃得：3+2b+4=9b，即b=1，不合题意，故舍去，
∴满足条件的a=2．
又由a₃+4=b₃得：2+2b+4=4b，
故b=3．
综上得：a=2，b=3．

点评：本题考查了数列的通项公式以及不等关系的应用，本题有一定的综合性，属于中档题．