Question

18．如图，等腰Rt△AOB，OA=OB=2，点C是OB的中点，△AOB绕BO所在的边逆时针旋转一周．
（1）求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；
（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为θ，且满足AC⊥BD，求θ．

Answer 1

分析 （1）利用体积、表面积公式，即可求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；
（2）如图建立空间直角坐标系，利用AC⊥BD，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-4cosθ-2=0$，即可求θ．

解答 解：（1）$V=\frac{1}{3}×π×{2^2}（{2-1}）=\frac{4}{3}π$；（3分）
S=$\frac{1}{2}×2π×2（2\sqrt{2}+\sqrt{5}）$=2π（2$\sqrt{2}+\sqrt{5}$）（3分）
（2）如图建立空间直角坐标系，得A（2，0，0），C（0，0，1），B（0，0，2）
由三角比定义，得D（2cosθ，2sinθ，0），（1分）
则，$\overrightarrow{AC}=（{-2，0，1}）$，$\overrightarrow{BD}=（{2cosθ，2sinθ，-2}）$，（2分）
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-4cosθ-2=0$，得$cosθ=-\frac{1}{2}$，θ∈[0，2π），（2分）
所以，$θ=\frac{2π}{3}或\frac{4π}{3}$．﹒﹒（1分）

点评 本题考查旋转体的体积V和表面积S，考查向量方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．