Question

2．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．
（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？
（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人．用分层抽样的方法，与古典概率计算公式即可得出．
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．利于古典概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$
所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．
用事件A表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，
则$P（A）=1\frac{C_6^4}{{C_{10}^4}}$=$1-\frac{15}{210}=\frac{13}{14}$．
因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是$\frac{13}{14}$
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3.$p（ξ=0）=\frac{C_8^3}{{C_{12}^3}}=\frac{14}{55}$，$p（ξ=1）=\frac{C_4^1C_8^2}{{C_{12}^3}}=\frac{28}{55}$，$p（ξ=2）=\frac{C_4^2C_8^1}{{C_{12}^3}}=\frac{12}{55}$，$p（ξ=3）=\frac{C_4^3}{{C_{12}^3}}=\frac{1}{55}$，
因此，ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$

∴$Eξ=0×\frac{14}{55}+1×\frac{28}{55}$$+2×\frac{12}{55}+3×\frac{1}{55}=1$．

点评 本题考查了茎叶图、分层抽样、古典概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．