Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞-2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x-1）（x-3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；
（2）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=-

b

2a

时，最大值为

4ac-b2

4a

＜0和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．

解答： 解：（1）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）
∴f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0
∴f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a①
由方程f（x）+6a=0，得：ax²-（2+4a）x+9a=0②
∵方程②有两个相等的实数根
∴△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0，即5a²-4a-1=0
解得：a=1或a=-

1

5

由于a＜0，舍去a=1．将a=-

1

5

代入①得：f（x）的解析式是f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

．
（2）由f（x）=ax²-（2+4a）x+3a
故f（x）的最大值为-

a2+4a+1

a

若不等式f（x）＜0的解集为R，
则-

a2+4a+1

a

＜0，由a＜0，
可得a²+4a+1＜0
解得-2-

3

＜a＜-2+

3

故不等式f（x）＜0的解集为R时，a的取值范围为（-2-

3

，-2+

3

）

点评：本小题主要考查二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的数学思想、化归与转化思想．属于基础题．