Question

（Ⅰ）解不等式a2x-1＞(

1

a

)x-2（a＞0且a≠1）．
（Ⅱ）设集合S={x|log₂（x+2）≤2}，集合T={y|y=(

1

2

)x-1，x≥-2}，求S∩T，S∪T．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,并集及其运算,交集及其运算

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）将不等式先化为同底的指数形式，对底数a分0＜a＜1和a＞1两种情况分别求解，即可得到答案；
（Ⅱ）根据对数不等式的解法，求出集合S，利用指数函数的单调性，求出函数的值域即为集合T，利用交集和并集的定义，即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）不等式a2x-1＞(

1

a

)x-2（a＞0且a≠1）可化为a^2x-1＞a^2-x，
①当a＞1时，不等式即为2x-1＞2-x，解得x＞1，
故原不等式解集为（1，+∞）；
②当0＜a＜1时，不等式即为2x-1＜2-x，解得x＜1，
故原不等式解集为（-∞，1）；
（Ⅱ）∵集合S={x|log₂（x+2）≤2}，
根据log₂（x+2）≤2，即log₂（x+2）≤log₂4，解得-2＜x≤2，
∴S=2，2]，
∵集合T={y|y=(

1

2

)x-1，x≥-2}，
∴T={y|-1＜y≤(

1

2

)-2-1}=(-1，3]，
∴S∩T=（-1，2]，S∪T=（-2，3]．

点评：本题考查了指数不等式与对数不等式的解法，对于指数函数和对数函数的不等式，求解的时候要将底数化为同底，然后利用指数函数和对数函数的单调性求解，若底数a不确定，则需要分类讨论进行研究．属于基础题．