Question

已知函数f（x）=x³-x-

x

．
（Ⅰ）判断

f(x)

x

的单调性；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；
（Ⅲ）令g（x）=

ax2+ax

f(x)+ x

+lnx，若函数y=g（x）在（0，

1

e

）内有极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）化简

f(x)

x

，并求导数，注意定义域：（0，+∞），求出单调区间；
（Ⅱ）运用零点存在定理说明

f(x)

x

在（1，2）内有零点，再说明f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；
（Ⅲ）对g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出h（x）=x²-（2+a）x+1，说明h（x）=0的两个根，有一个在（0，

1

e

）内，另一个大于e，由于h（0）=1，通过h（

1

e

）＞0解出a即可．

解答： 解：（Ⅰ）设φ（x）=

f(x)

x

=x²-1-

1

x

（x＞0），
则φ'（x）=2x+

1

2 x3

＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）∵φ（1）=-1＜0，φ（2）=3-

1

2

＞0，且φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴φ（x）在（1，2）内有零点，
又f（x）=x³-x-

x

=x•φ（x），显然x=0为f（x）的一个零点，
∴f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；
（Ⅲ）g（x）=

ax2+ax

x3-x

+lnx=lnx+

a

x-1

，
则g'（x）=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(2+a)x+1

x(x-1)2

，
设h（x）=x²-（2+a）x+1，
则h（x）=0有两个不同的根x₁，x₂，且有一根在（0，

1

e

）内，
不妨设0＜x₁＜

1

e

，由于x₁x₂=1，即x₂＞e，
由于h（0）=1，故只需h（

1

e

）＜0即可，
即

1

e2

-（2+a）•

1

e

+1＜0，解得a＞e+

1

e

-2，
∴实数a的取值范围是（e+

1

e

-2，+∞）．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题．