Question

设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a，b都是从集合{1，2，3，4}中任取的数字，求方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[0，4]中任取的数字，b是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,几何概型

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）列举所有的情况，找出方程有实根的事件包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可；
（Ⅱ）画出a是从区间[0，4]中任取的数字，b是从区间[1，4]中任取的数字的可行域，找出方程有实根的事件所代表的平面区域，利用几何概型概率公式计算即可．

解答： 解：（I）设事件A为“方程有实根”，
记（a，b）为取到的一种组合，则所有的情况有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
一共16种且每种情况被取到的可能性相同．
∵关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根，
∴△=4a²-4b²≥0，
∴a≥b．
∴事件A包含的基本事件有：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），
（4，3），（4，4）共10种．
∴P（A）=

10

16

=

5

8

．
∴方程有实根的概率是

5

8

．
（Ⅱ）设事件B=“方程有实根”，记（a，b）为取到的一种组合．
∵a是从区间[0，4]中任取的数字，b是从区间[1，4]中任取的数字，
∴点（a，b）所在区域是长为4，宽为3的矩形区域．
又∵满足a≥b的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P（B）=

1 2 ×3×3

3×4

=

3

8

．
∴方程有实根的概率是

3

8

．

点评：本题考查古典概型和几何概型的概率计算，以及一元二次方程根的判别式的应用，属于中档题．