题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2-a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）对任意a≤-3，使得f（1）是函数f（x）在区间[1，b]（b＞1）上的最大值，试求最大的实数b．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）对任意a≤-3，使得f（1）是函数f（x）在区间[1，b]（b＞1）上的最大值，试求最大的实数b．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可得出单调区间；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，可得只要f（1）≥f（b）即可，列出不等式求得结论．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，可得只要f（1）≥f（b）即可，列出不等式求得结论．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+ax2-a．
∴f′（x）=3x2+2ax=3x（x+
a），
∴当a=0时，f′（x）≥0，函数f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；
当a＞0时，由f′（x）＞0得，x＜-
或x＞0，故函数f（x）的单调增区间是（-∞，-
），（0，+∞）；
当a＜0时，由f′（x）＞0得，x＞-
或x＜0，故函数f（x）的单调增区间是（-
，+∞），（-∞，0）；
（Ⅱ）∵a≤-3，∴-
≥2，∴不论-
＜b还是-
≥b，由题意可知f（1）≥f（b）即可，
∴b3+ab2-a-1≤0，令g（a）=b3+ab2-a-1，∵b＞1，
∴只要g（-3）=b3-3b2+2≤0，即（b-1）（b2-2b-2）≤0，解得1＜b≤1+
，
∴b的最大值是1+
．
∴f′（x）=3x2+2ax=3x（x+
| 2 |
| 3 |
∴当a=0时，f′（x）≥0，函数f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；
当a＞0时，由f′（x）＞0得，x＜-
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
当a＜0时，由f′（x）＞0得，x＞-
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
（Ⅱ）∵a≤-3，∴-
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
∴b3+ab2-a-1≤0，令g（a）=b3+ab2-a-1，∵b＞1，
∴只要g（-3）=b3-3b2+2≤0，即（b-1）（b2-2b-2）≤0，解得1＜b≤1+
| 3 |
∴b的最大值是1+
| 3 |
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，考查学生的运算求解能力及分类讨论思想，划归转化思想的运用能力，属难题．
练习册系列答案
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