题目内容
如果n件产品中任取一件样品是次品的概率为p（0≤p≤1），则认为这批产品中有np件次品．某企业的统计资料显示，产品中发生次品的概率p与日产量n满足p=
（n∈N*，1≤n≤98），有已知每生产一件正品可赢利a元，如果生产一件次品，非但不能赢利，还将损失
元（a＞0）
（1）求该企业日赢利额f（n）的最大值；
（2）为保证每天的赢利额不少于日赢利额最大值的50%，试求该企业日产量的取值范围．
| 2 |
| 100-n |
| a |
| 2 |
（1）求该企业日赢利额f（n）的最大值；
（2）为保证每天的赢利额不少于日赢利额最大值的50%，试求该企业日产量的取值范围．
考点：函数模型的选择与应用
专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：（1）n件产品中次品有np件，正品有（n-np）件，进而可得该企业日赢利额f（n）关于生产件数的函数，利用基本不等式，可求该企业日赢利额f（n）的最大值；
（2）根据每天的赢利额不少于日赢利额最大值的50%，建立不等式，即可试求该企业日产量的取值范围．
（2）根据每天的赢利额不少于日赢利额最大值的50%，建立不等式，即可试求该企业日产量的取值范围．
解答：
解：（1）f（n）=（n-np）a-np•
=a（n-
np）（n∈N*，1≤n≤98），
于是，f（n）=a（n-
）=a[-（100-n）-
+103]．
已知100-n＞0，则（100-n）+
≥20
，当且仅当100-n=10
，即n≈82.679时成立，
但n是正整数，f（82）≈68.333a，f（83）≈68.353a，
所以当n=83时，f（n）取得最大值
a．
（2）a（n-
）≥
×
a，即17n2-2230n+58100≤0，解得36≤n≤95．
| a |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
于是，f（n）=a（n-
| 3n |
| 100-n |
| 300 |
| 100-n |
已知100-n＞0，则（100-n）+
| 300 |
| 100-n |
| 3 |
| 3 |
但n是正整数，f（82）≈68.333a，f（83）≈68.353a，
所以当n=83时，f（n）取得最大值
| 1162 |
| 17 |
（2）a（n-
| 3n |
| 100-n |
| 1 |
| 2 |
| 1162 |
| 17 |
点评：本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，确定函数模型是关键．
练习册系列答案
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