Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=2n+2-4  (n∈N*)，函数f（x）对?x∈R有f（x）+f（1-x）=1，数列{b_n}满足b_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）．
（1）分别求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，T_n是数列{c_n}的前n项和，若存在正实数k，使不等式k(n2-9n+36)Tn＞6n2an对于一切的n∈N^*恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的函数特性,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出  an=2n+1  (n∈N*)；由f（x）+f（1-x）=1，知f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，由此利用倒序相加法能求出{b_n}的通项公式．
（2）c_n=a_n•b_n=（n+1）•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出Tn=n•2n+1．由此得到k＞

6n

n2-9n+36

对于一切的n∈N^*恒成立，从而能求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵Sn=2n+2-4  (n∈N*)，
∴n=1，  a1=S1=21+2-4=4…（1分）
n≥2，  an=Sn-Sn-1=(2n+2-4)-(2n+1-4)=2n+1，
n=1时满足上式，
∴  an=2n+1  (n∈N*)…（3分）
∵f（x）+f（1-x）=1，
∴f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，…（4分）
∵bn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f（1）①
∴bn=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f（1）+f（0）②
∴①+②，得2bn=n+1  ∴bn=

n+1

2

．…（6分）
（2）∵c_n=a_n•b_n=2n+1•

n+1

2

=（n+1）•2ⁿ，
∴Tn=2•2+3•22+4•23+…+n•2n+（n+1）•2ⁿ⁺¹，①
2T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹．
∴Tn=n•2n+1．
∵存在正实数k，使不等式k(n2-9n+36)Tn＞6n2an对于一切的n∈N^*恒成立，
∴k（n²-9n+36）T_n＞6n²a_n恒成立，
∴k＞

6n

n2-9n+36

对于一切的n∈N^*恒成立，
∴k＞

6

n+ 36 n -9

，
令g（n）=

6

n+ 36 n -9

，则g（n）=

6

n+ 36 n -9

≤

6

2 36 -9

=2．
当且仅当n=6时等号成立，∴g（n）_max=2，
∴k＞2，即k的取值范围是（2，+∞）．

点评：本题考查数列的通项公式 的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．