Question

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=2，BD=

2

，沿BD将△BCD折起，使二面角A-BD-C是大小为锐角α的二面角，设C在平面ABD上的射影为O．
（1）求证：OD∥AB；
（2）当α为何值时，三棱锥C-OAD的体积最大？最大值为多少？

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先，得到BD⊥平面SCD，然后，得到BD⊥OD，从而得证；
（2）根据射影，得到BD⊥OD，然后，根据体积公式，得到V_C-AOD=

1

3

S_△AOD•OC，从而求解体积．

解答： 解：（1）∵CO⊥平面ABD，
CO⊥BD，
∵BD⊥CD，CD∩CO=C，
∴BD⊥平面OCD
又OD?平面COD，
∴BD⊥OD，
∵AB⊥BD，
∴AB∥OD．
（2）由题知OD为CD在平面ABD上的射影，
∵BD⊥CD，CO⊥平面ABD，
∴BD⊥OD，
∴∠ODC=α，
V_C-AOD=

1

3

S_△AOD•OC=

1

3

•

1

2

•OD•BD•OC=

2

6

•OD•OC
=

2

6

•CD•sinα•CD•cosα
=

2

3

sin2α≤

2

3

，
当且仅当sin2α=1，即α=45°时取等号，
∴当α=45°时，三棱锥O-ACD的体积最大，最大值为

2

3

．  

点评：本题重点考查了空间中垂直关系、平行关系及其判断方法、投影的概念、空间中关于角度的认识等知识，属于中档题．