Question

14．直线l的方程为y=x+3，P为l上任意一点，过点P且以双曲线12x²-4y²=3的焦点为焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$
• C． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{16}=1$

Answer 1

分析 由题意设出椭圆方程，P的坐标，结合P在椭圆上，可得关于P的横坐标的方程，由判别式大于等于0求得a的范围，进一步求出a的最小值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：由题意可设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（ a＞b＞0），
则c=1，∴a²-b²=c²=1，
设P﹙m．m+3﹚，由P在椭圆上，得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（m+3）^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，
∴﹙a²-1﹚m²+a²﹙m²+6m+9﹚=a²﹙a²-1﹚=﹙a²﹚²-a²，
即﹙2a²-1﹚m²+6a²m+10a²-﹙a²﹚²=0．
由△=﹙6a²﹚²-﹙8a²-4﹚﹙10a²-a⁴﹚≥0，
得36a⁴-80a⁴++40a²+8a⁶-4a⁴≥0，
∴-48a²+40+8a⁴≥0，a⁴-6a²+5≥0，
即﹙a²-5﹚﹙a²-1﹚≥0，
解得a²≤1或 a²≥5，
∵c²=1，a²＞c²，
∴a²≥5，长轴最短，即a²=5，
则b²=a²-1=4．
∴所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．