题目内容
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）求AE与D1F所成的角
（文科）（2）证明：AD⊥D1F；
（理科）（2）证明：面AED⊥面A1FD1．
分析 （1）欲求AE与D1F所成的角，必须先找出求AE与D1F所成的角，利用正方体中平行线，即可知道是∠AHA1是AE与D1F所成的角即为所求，最后利用证三角形全等即得；
（2）欲证明：AD⊥D1F，可通过证明线面垂直得到，故先证AD⊥面DC1，即可；
（3）欲证明：面AED⊥面A1FD1．根据面面垂直的判定定理知，只须证明线面垂直：D1F⊥面AED，即得．
解答 
（1）解：取AB中点G，连结A1G，FG，∵F是CD中点
∴GF平行且等于AD，
∵A1D1平行且等于AD，
∴A1D1平行且等于GF，
∴GFD1A1是平行四边形，
∴A1G∥D1F，
设AG1∩AE=H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角
∵E是BB1的中点∴Rt△A1AG≌Rt△ABE
∴∠GA1A=∠GAH∴∠A1HA=90°即直线AE与D1F所成角是直角
（2）证明：AC1是正方体∴AD⊥面DC1，又D1F?面DC1，∴AD⊥D1F
（3）证明：∵AD⊥D1F（（1）中已证）AE⊥D1F，AD∩AE=A，∴D1F⊥面AED，
又∵D1F?面A1FD1，
∴面AED⊥面A1FD1
点评 本题主要考查了异面直线及其所成的角、平面与平面垂直的判定，以及空间想象力、转化思想方法，属于中档题．
练习册系列答案
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