Question

4．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且线段AB的最小长度为4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，证明直线AP与x轴交于一定点并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意2p=4，求出p，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线BD的方程，与抛物线C的准线方程构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意2p=4，∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线AB的方程为x=my+1
与抛物线的方程联立，得y²-4my-4=0，
∴y₁•y₂=-4，
依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x₂=4．
∴直线BD的方程可表示为，y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$（x-4）①
∵抛物线C的准线方程为，x=-1②
由①，②联立方程组可求得P的坐标为（-1，-$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$）
∴P的坐标可化为（-1，$\frac{5{y}_{1}}{1-{{y}_{1}}^{2}}$），
∴k_AP=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-1}$，
∴直线AP的方程为y-y₁=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-1}$（x-x₁），
令y=0，可得x=x₁-$\frac{{{y}_{1}}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}$
∴直线AP与x轴交于定点（$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．