Question

4．在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M，N分别为AB，BC的中点，点P为△ABC内部任一点，则$\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{MP}$取值范围为（　　）

• A． $（{-\frac{3}{4}，\frac{3}{4}}）$
• B． $（{-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}}）$
• C． $（{0，\frac{3}{4}}）$
• D． $（{-\frac{3}{4}，0}）$

Answer 1

分析 建立坐标系，设P（x，y），用x，y表示出$\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{MP}$，利用线性规划知识求出最值．

解答 解：以C为原点建立平面直角坐标系如图所示：
则A（0，1），B（1，0），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，0），∴直线AB的方程为x+y=1．
设P（x，y），则$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{1}{2}$，y-$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{MP}$=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）-（y-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}x$-y+$\frac{1}{4}$，
令z=$\frac{1}{2}x$-y+$\frac{1}{4}$，则y=$\frac{1}{2}$x-z+$\frac{1}{4}$．
∵P（x，y）在△ABC内部，
由图可知当直线y=$\frac{1}{2}$x-z+$\frac{1}{4}$经过点A时，截距最大，即z最小，
当直线y=$\frac{1}{2}$x-z+$\frac{1}{4}$经过点B时，截距最小，即z最大，
∴z_min=$\frac{1}{2}×0-1+\frac{1}{4}$=-$\frac{3}{4}$，z_max=$\frac{1}{2}×1$-0+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故选A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，线性规划的应用，属于中档题．