Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1 （a为实常数）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，设g（x）=|f（x）-x|在区间[-2，2]上的最大值为h（a），求h（a）的表达式．

Answer 1

考点：带绝对值的函数,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）确定定义域为R，且满足f（-x）=f（x），可得结论；
（2）分类讨论，结合函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[-2，2]时，g（x）=|f（x）-x|=

|ax2+2a-1|，-2≤x≤0 |ax2-2x+2a-1|，0＜x≤2

，对a讨论，确定最大值h（a），即可求h（a）的表达式．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=ax²-|x|+2a-1，它的定义域为R，且满足f（-x）=f（x），
故函数为偶函数．
（2）当a=0时，在区间[1，2]上，f（x）=-|x|-1=-x-1，不满足在区间[1，2]上是增函数，故a≠0．
在区间[1，2]上，函数f（x）=ax²-x+2a-1的图象对称轴方程为x=

1

2a

，
根据函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
可得 

a＞0 1 2a ≤1

 ①，或

a＜0 1 2a ≥2

②，求得a≥

1

2

．
（3）当x∈[-2，2]时，g（x）=|f（x）-x|=

|ax2+2a-1|，-2≤x≤0 |ax2-2x+2a-1|，0＜x≤2

，
①0＜a≤

1

2

，即

1

a

≥2，h（a）=max

|6a-1| |2a-1| |6a-5|

=6a-5；
②a＞

1

2

，即0＜

1

a

＜2，h（a）=max

|6a-1| |2a-1| |6a-5| |2a- 1 a -1|

=6a-1
∴h（a）=

6a-5，0＜a≤ 1 2 6a-1，a＞ 1 2

．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，考查带绝对值的函数，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．