Question

已知函数f（x）=

x

1+x2

是定义在（-1，1）上的函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性（不需证明）；
（Ⅱ）用定义法证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（Ⅲ）解不等式f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根据定义法证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（Ⅲ）根据奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（-x）=-

x

1+x2

=-f（x），则f（x）为奇函数．
（Ⅱ）证明：对于任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，

f(x1)-f(x2)= x1 1+ x 2 1 - x2 1+ x 2 2 = x1(1+ x 2 2 )-x2(1+ x 2 1 ) (1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 ) = (x1-x2)+x1x2(x2-x1) (1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 ) = (x1-x2)(1-x1x2) (1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x1-x2＜0，(1+

x

2 1

)(1+

x

2 2

)＞0，
∴x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f(x)=

x

1+x2

在（-1，1）上是增函数．…（7分）
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，f（x）是奇函数且在（-1，1）上递增，

f(x-1)+f(x)＜0?f(x-1)＜-f(x)?f(x-1)＜f(-x) ? -1＜x-1＜1 -1＜x＜1 x-1＜-x ? 0＜x＜2 -1＜x＜1 x＜ 1 2 ?0＜x＜ 1 2

…（11分）
∴不等式的解集为(0，

1

2

)．…（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．