Question

11．如图所示，平面内有三个向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，其中$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为30°，$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为90°，且|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2，|$\overrightarrow{OC}$|=2$\sqrt{3}$，若$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，（λ，μ∈R）则（　　）

• A． λ=4，μ=2
• B． λ=4，μ=1
• C． λ=2，μ=1
• D． λ=2，μ=2

Answer 1

分析 以OC为对角线，以OA，OB方向为邻边作平行四边形，求出平行四边形OA方向上的边长即可得出答案．以OC为对角线，以OA，OB方向为邻边作平行四边形，求出平行四边形OA方向上的边长即可得出答案．

解答 解：过点C作CE∥OB交OA的延长线于点E，过点C作CF∥OA交OB的延长线于点F，则$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{CE}$+$\overrightarrow{OF}$．
∴∠OCE=∠COF=90°，∵∠COE=30°，∴CE=$\frac{1}{2}$OE，
∵CE²+OC²=OE²，
∴CE=2，OE=4．
∵OA=2，$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，（λ，μ∈R）．
∴λ=$\frac{OE}{OA}$=2，μ=$\frac{OF}{OB}$=$\frac{CE}{OB}$=1，
故选：C

点评 本题考查了平面向量的基本定理，向量运算的几何意义，属于基础题．