Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求c的值；
（2）求|AC|的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用函数f（x）的单调区间判断出x=0是函数的极值点，利用函数在极值点处的导数值为0，列出方程求出c的值．
（2）由已知中f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，由点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．利用函数在极值点处的导数值为0，可得c=0，进而可设A（α，0），C（β，0），根据韦达定理可求出α，β与a，b，c，d的关系式，将x=2代入后再利用韦达定理求出A，C的距离，求出|AC|的最值，进而得到|AC|的取值范围．

解答： 解：（1）由条件可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0．
（2）令f′（x）=0，则3ax²+2bx=0，
解得  x₁=0，x₂=-

2b

3a

．
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
得2≤-

2b

3a

≤4，解得-6≤

b

a

≤-3．
又由题意，（3）设A（α，0），C（β，0），
则由题意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）
则

b=-a(2+α+β) d=-2aαβ

，解得 α+β=-

b

a

=-2，αβ=-

d

2a

，
又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），αβ=4+

2b

a

，
从而|AC|=|α-β|=

(α+β)2-4αβ

=

( b a -2)2-16

，
∵-6≤

b

a

≤-3，
∴当

b

a

=-6时，|AC|_max=4

3

；当

b

a

=-3时，|AC|_min=3．
∴3≤|AC|≤4

3

．

点评：本题考查极值点处的函数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反；解决二次方程的根的问题常用到韦达定理．