Question

已知二次函数y=f（x）的图象在y轴上的截距为1，对于任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2x-2恒成立．
（I）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设集合A={f（x）|n＜x≤n+1，f（x）∈Z，n∈N^*}，记A中的元素个数为a_n．试求a₁，a₂和数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．由题意f（x+1）=f（x）+2x-2，从而2ax+a+b=2x-2恒成立．由此求出f（x）=x²-3x+1．
（II）由f（x）=x²-3x+1，得：-

5

4

≤f(x)≤-1，由此能求出结果．

解答： 解：（I）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
由题意f（x+1）=f（x）+2x-2，
有a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x-2，
整理得：2ax+a+b=2x-2恒成立．
∴

2a=2 a+b=-2

解得：

a=1 b=-3

，
又y=f（x）在y轴上的截距为1，
∴有f（0）=c=1
故f（x）=x²-3x+1．（4分）
（II）由f（x）=x²-3x+1，
知f(x)在区间(-∞，

3

2

]上为减函数，在区间[

3

2

，+∞)上为增函数．当n=1时 ，即1＜x≤2时，f(

3

2

)≤f(x)≤f(2)，
解得：-

5

4

≤f(x)≤-1，
∵f（x）∈Z故f（x）=-1，
∴a₁=1当n=2时，即2＜x≤3时，f（2）＜f（x）≤f（3），
解得：-1＜f（x）≤1，
∵f（x）∈Z，故f（x）取到0和-1两个值，
∴a₂=2当n≥2时，即n＜x≤n+1时，f（n）＜f（x）≤f（n+1），
解得：n²-3n+1＜f（x）≤（n+1）-3（n+1）+1，且f（x）∈Z，
∴an=(n+1)-3(n+1)+1-(n2-3n+1)=2n-2，
∴an=

1，(n=1) 2n-2，(n≥2)

．（10分）

点评：本题考查y=f（x）的解析式的求法，考查a₁，a₂和数列{a_n}的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．