Question

过点P（2，1）的直线l与x轴、y轴正半轴交于A，B两点，求满足下列条件的直线l的方程，O为坐标原点，
（1）△AOB面积最小时；
（2）|OA|+|OB|最小时；
（3）|PA|•|PB|最小时．

Answer 1

考点：三角形的面积公式,函数的值域,两点间的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，则直线方程为

x

a

+

y

b

=1．根据直线过点P，可得a，b的关系式，然后表示出△AOB面积，通过变形运用基本不等式即可求得答案；
（2）运用（1）问结论，使用基本不等式可得答案；
（3）运用两点间距离公式表示出|PA|•|PB|，通过整理使用基本不等式可求；

解答： 解：由题意，设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，直线方程为

x

a

+

y

b

=1．又直线l过点P（2，1），得

2

a

+

1

b

=1，
（1）∵

2

a

+

1

b

=1，∴a+2b=ab⇒a+2b-ab-2=-2⇒a（1-b）+2（b-1）=-2，
⇒（a-2）（b-1）=2＞0，a＞2，b＞1，
当△AOB面积最小时，即S=

1

2

ab最小，
得S=

1

2

ab=

1

2

（a+2b）=

1

2

[（a-2）+2（b-1）]+2≥

2(a-2)(b-1)

+2=4，
当且仅当a-2=2（b-1），即a=4，b=2时取等号，此时直线l的方程为

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0；
（2）|OA|+|OB|=a+b=（a-2）+（b-1）+3≥3+2

2

，
当且仅当a-2=b-1=

2

，即a=2+

2

，b=1+

2

时取等号，
此时直线l的方程为

x

2+ 2

+

y

1+ 2

=1，即x+

2

y-2-

2

=0．
（3）|PA|•|PB|=

[(a-2)2+(1-0)2][22+(b-1)2]

=

(a-2)2(b-1)2+4(a-2)2+(b-1)2+4

=

8+4(a-2)2+(b-1)2

≥

8+2 4(a-2)2(b-1)2

=4，
当且仅当2（a-2）=b-1=2，即a=b=3时取等号，
此时直线l的方程为

x

3

+

y

3

=1，即x+y-3=0．

点评：本题考查三角形的面积公式、两点间的距离公式及基本不等式的应用，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．