Question

已知函数f（x）=4sinxcos（x+

π

3

）+

3

．
（1）f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．
（2）若方程f（x）-t=0在x∈[-

π

4

，

π

2

]上有唯一解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过三角函数的关系式对函数进行恒等变换，进一步把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的定义域求出函数的最值．
（2）利用（1）的结论，对具有严格单调区间的函数具有唯一解．

解答： 解：（1）f（x）=4sinx(cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

）+

3

=2sinxcosx-2

3

sin2x+

3

=sin2x+

3

cos2x
=2sin(2x+

π

3

) 
因为：-

π

4

≤x≤

π

6

，
所以：-

π

6

≤2x+

π

3

≤

2π

3

所以-

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
所以-1≤f（x）≤2，
当2x+

π

3

=-

π

6

，
即x=-

π

4

时，f（x）_min=-1，当2x+

π

3

=

π

2

，即：x=

π

12

时，f（x）_max=2，
（2）因为-

π

4

≤x≤

π

12

时，-

π

6

≤2x+

π

3

≤

π

2

，-1≤2sin(2x+

π

3

)≤2
且单调递增，

π

12

≤x≤

π

2

时，

π

2

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
所以-

3

≤2sin(2x+

π

3

)≤2，且单调递减，
所以f（x）=t，有唯一解时对应t的范围为t∈[-

3

，-1]或t=2

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域，最值的应用，单调性的应用，属于基础题型．