Question

14．观察下列等式
1=1                    
2+3+4=9                
3+4+5+6+7=25            
4+5+6+7+8+9+10=49      
5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
照此规律下去
（Ⅰ）写出第6个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．

Answer 1

分析 （I）根据式子的开始项和最后一项及右边特点得出；
（II）验证n=1猜想是否成立，再假设n=k成立，推导n=k+1成立即可．

解答 （I）解：第6个式子为6+7+8+9+…+16=121．
（II）猜想：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²，
证明：（1）当n=1时，猜想显然成立；
（2）假设n=k时，猜想成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，
则当n=k+1时，（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
=（2k-1）²-k+（3k-1）+3k+（3k+1）=4k²+4k+1=（2k+1）²=[2（k+1）-1]²，
∴当n=k+1时，猜想成立．
所以，对于任意n∈N₊，猜想都成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于中档题．