Question

2．点G是△ABC的重心，$|{\overrightarrow{AC}}|=1，|{\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{2}$，且AG⊥BG，则sinC=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 设GE=y，GF=x，由三角形重心的性质及勾股定理可得：x²+（2y）²=$\frac{1}{4}$，（2x）²+y²=$\frac{1}{2}$，解得x²，y²，利用勾股定理可求c²，由余弦定理可得cosC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值．

解答 解：由已知，AF=$\frac{1}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设GE=y，GF=x，则：AG=2y，BG=2x，
由勾股定理可得：x²+（2y）²=$\frac{1}{4}$，（2x）²+y²=$\frac{1}{2}$，
解得：x²=$\frac{7}{60}$，y²=$\frac{1}{30}$，
可得：c²=AB²=（2x）²+（2y）²=$\frac{3}{5}$，
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2+1-\frac{3}{5}}{2×2×1}$=$\frac{3}{5}$，
可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查了三角形重心的性质及勾股定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想，属于中档题．