Question

已知函数f（x）和g（x）满足g（x）+f（x）=x 

1

2

，g（x）-f（x）=x -

1

2

．
（1）求函数f（x）和g（x）的表达式；
（2）试比较g²（x）与g（x²）的大小；
（3）分别求出f（4）-2f（2）g（2）和f（9）-2f（3）g（3）的值，由此概括出函数f（x）和g（x）对所有大于0的实数x都成立的一个公式，并加以证明．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知中的f（x），g（x）的关系式即可解出f（x），g（x）；
（2）分别求出g²（x），g（x²）并作差即可；
（3）带入f（x），g（x）的解析式即可求出这两组值，并归纳出结论：x＞0，f（x²）-2f（x）g（x）=0．

解答： 解：（1）由已知条件即可求得：f（x）=

x 1 2 -x- 1 2

2

，g（x）=

x 1 2 +x- 1 2

2

；
（2）g2(x)-g(x2)=

x+2+x-1

4

-

x+x-1

2

=-

x-2+x-1

4

=-

(x 1 2 -x- 1 2 )2

4

≤0；
∴g²（x）≤g（x²），当x=1时取“=“；
（3）f（4）-2f（2）g（2）=

3

4

-

3

4

=0，f（9）-2f（3）g（3）=

4

3

-

4

3

=0；
得到的结论：若x＞0，则f（x²）-2f（x）g（x）=0，证明如下：
f(x2)-2f(x)g(x)=

x-x-1

2

-2•

x-x-1

4

=0．

点评：考查根据f（x），g（x）的关系式求函数f（x），g（x）的解析式的方法，根据函数解析式求函数值．