Question

已知函数f（x）=e^x（x-a），其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上的最小值是-

e

，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，令导数大于零，求出不等式的解区间就是函数的递增区间．
（2）讨论函数在[0，1]上的单调性，求出最小值，解方程即可．

解答： 解；∵f（x）=e^x（x-a），∴f'（x）=e^x（x+1-a），令f'（x）≥0，得x≥a-1．
列表如下；

x	（-∞，a-1）	a-1	（a-1，∞
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

故函数f（x）在（-∞，a-1）上是递减函数，在（a-1，+∞）上是递增函数
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，需要对a-1进行分类讨论：
①当a-1≤0，即a≤1时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，f（x）在区间[0，1]上的最小值是f（0）=-a
令-a=-

e

，解得a=

e

＞1，与a≤1矛盾，舍去a=

e

②当a-1≥1，即a≥2时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，f（x）在区间[0，1]上的最小值是f（1）=e（1-a）
令e(1-a)=-

e

，解得a=1+

e

e

＜2，与a≥2矛盾，舍去a=1+

e

e

③当0＜a-1＜1，即1＜a＜2时，f（x）在区间（0，a-1）单调递减；在区间（a-1，1）单调递增，f（x）在区间[0，1]上的最小值是f（x）_极小值=f（a-1）=e^a-1（a-1-a）=-e^a-1
令-ea-1=-

e

，解得a=

3

2

，适合1＜a＜2
综上，当a=

3

2

当f（x）在区间[0，1]上的最小值是-

e

．

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，以及函数在闭区间上的最值问题，属于中档题．