Question

8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），f（-2）=-3，若数列{a_n}的前n项和S_n满足$\frac{S_n}{n}=\frac{{2{a_n}}}{n}+1$，则f（a₅）+f（a₆）=3．

Answer 1

分析 利用奇函数得性质推导出函数的周期为3，再求出a_n的解析式，并求出a₅和a₆，根据周期求得f（a₅）+f（a₆）的值．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），$f（\frac{3}{2}-x）=f（x）=-f（-x）$），
记-x=t，则$f（\frac{3}{2}+t）=-f（t）$，即$f（\frac{3}{2}+x）=-f（x）$，所以$f（x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}）=-f（x+\frac{3}{2}）$
=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）是以3为周期的周期函数．由$\frac{S_n}{n}=\frac{{2{a_n}}}{n}+1$得S_n=2a_n+n，①
所以S_n-1=2a_n-1+n-1（n≥2，n∈N），②
①-②得a_n=2a_n-1-1（n≥2），即a_n-1=2（a_n-1-1）（n≥2），
又∵$\frac{s_1}{1}=\frac{{2{a_1}}}{1}+1={a_1}$，
∴a₁=-1，∴数列{a_n-1}是首项为a₁-1=-2，公比为2的等比数列，
∴${a_n}-1=-2•{2^{n-1}}=-{2^n}$，
∴${a_n}=-{2^n}+1$，${a_5}=-{2^5}+1=-31$，${a_6}=-{2^6}+1=-63$，
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=-f（-2）=3．

点评 本题主要考察求数列通项和函数的周期性相结合的问题，属于中档题．