Question

17．在数列{a_n}中，其前n项和为S_n，S₁=1，S₂=2，若S_n+2=2S_n+1-S_n+2，数列b_n=a_n•2ⁿ，数列{b_n}的前n项和为T_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n+2=2S_n+1-S_n+2，可得a_n+2-a_n+1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+2=2S_n+1-S_n+2，
∴S_n+2-S_n+1=S_n+1-S_n+2，
∴a_n+2-a_n+1=2，
∵S₁=1，S₂=2，∴a₁=1，a₁+a₂=2，
解得a₁=a₂=1．
∴a₂-a₁=0≠2．
∴数列{a_n}从第2项开始是等差数列，公差为2．
∴n≥2时，a_n=a₂+（n-2）d=1+2（n-1）=2n-3．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-3，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）b_n=a_n•2ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（2n-3）•{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=2+2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ，
2T_n=2²+2³+3×2⁴+…+（2n-5）•2ⁿ+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+0+2（2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n-3）•2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2×8（{2}^{n-2}-1）}{2-1}$-（2n-3）•2ⁿ⁺¹=-14+（5-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-5）•2ⁿ⁺¹+14．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．