Question

13．已知△ABC中，顶点A（7，-3），AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，AB边上的中线CM所在的直线方程为6x-y-21=0．
（Ⅰ）求直线AC和直线BC的方程；
（Ⅱ）若点P满足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AC边上的高BH所在直线方程求出斜率，得到AC所在直线斜率，利用直线方程点斜式求得AC所在直线方程，设出B得坐标，求出AB中点M的坐标，代入CM方程，可得B的坐标，联立直线方程求得C的坐标，再由两点式求得BC所在直线方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出|AC|，|AB|，再由|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|可知P为△ABC的外心，展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念求解．

解答 解：（Ⅰ）如图，
∵AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，∴k_AC=-2，
又A（7，-3），∴AC所在直线方程为y+3=-2（x-7），
即2x+y-11=0．
设点B（2m+5，m），由点A（7，-3），可得AB的中点M（m+6，$\frac{m-3}{2}$），
再把点M（m+6，$\frac{m-3}{2}$）代入CM所在的直线方程6x-y-21=0，可得m=-3，
即B（-1，-3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{6x-y-21=0}\end{array}\right.$，解得C（4，3）．
用两点式求得BC的方程为$\frac{y+3}{6}=\frac{x+1}{5}$，即6x-5y-9=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得|AC|=$\sqrt{（7-4）^{2}+（-3-3）^{2}}=3\sqrt{5}$，|AB|=$\sqrt{（7+1）^{2}+（-3+3）^{2}}=8$．
又点P满足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|，∴P为△ABC的外心．
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$
=$|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AC}|•cos∠CAP-|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|•cos∠BAP$
=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=\frac{1}{2}×45-\frac{1}{2}×64$=$-\frac{19}{2}$．

点评 本题考查利用待定系数法求直线方程，考查了平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题．