Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²-4n+4，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中，令b_n=

1，n=1 an+5 2 ，n≥2

，T_n=2b₁+2²b₂+2³b₃+…+2ⁿb_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）S_n=n²-4n+4，（n∈N^*）．取n=1时可得S₁=1，又当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）利用a_n可得b_n=n，再利用“错位相减法”可得T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=n²-4n+4，（n∈N^*）．
∴S₁=1，
又当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5，
∴a_n=

1，n=1 2n-5，n≥2

．
（2）∵bn=

1，n=1 2n-5+5 2 =n，n≥2

，
∴b_n=n，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．